(1, ≤ ℓ)-identifying codes in digraphs and graphs

Abstract

The main subject of this PhD thesis is the study of (1,=l)-identifying codes in digraphs. The results presented in this work are divided into three parts. The first one focusses on the structural properties of digraphs admitting a (1,=l)-identifying code for l=2. In the second part, we deal with the study of (1,=l)-identifying codes in line digraphs. Finally, in the third part we approach the problem from an algebraic perspective.A (1,=l)-identifying code in a digraph D is a dominating subset C of vertices of D such that all distinct subsets of vertices of cardinality at most l have distinct closed in-neighbourhoods within C. In the first part of the results, we prove that if D is a digraph admitting a (1,=l)-identifying code, then l is at most the minimum in-degree of the digraph plus one. Once this upper bound is established, we give some sufficient conditions for a digraph D, with minimum in-degree at least one, to admit a (1,=l)-identifying code for l equal to the minimum in-degree of the digraph or the minimum in-degree plus one. As a corollary, a result by Laihonen published in 2008 (that states that a k-regular graph with girth at least 7 admits a (1,=k)-identifying code) is extended to any graph of minimum degree k at least 2 and girth at least 7. Moreover, we show that every 1-in-regular digraph has a (1,=2)-identifying code if and only if the girth of the digraph is at least 5. We also characterise all the 2-in-regular digraphs admitting a (1,=l)-identifying code for l=2,3.In the second part, we prove that every line digraph of minimum in-degree 1 does not admit a (1,=l)-identifying code for l=3. Then, we give a characterisation of a line digraph of a digraph different from a directed cycle of length 4 and minimum in-degree 1 admitting a (1,=2)-identifying code. The identifying number of a digraph D, is the minimum size among all the identifying codes of D. We establish for digraphs without digons (symmetric arcs) with both vertices of in-degree 1 that the identifying number of its line digraph, is lower bounded by the number of arcs of D minus the number of vertices with out-degree at least one. Thus, we show that the identifying number of the line digraph of a digraph D attains the equality when Dhavea 1-factor with minimum in-degree 2 and without digons with both vertices of in-degree 2. We conclude by giving an algorithm to provide identifying codes in oriented digraphs with minimum in-degree at least 2 and minimum out-degree at least 1.In the third part, we give some sufficient algebraic and combinatorial conditions for a 2-in-regular digraph to admit a (1,=l)-identifying code for l=2, and for l=3 by combining the results of the first part of this thesis with some algebraic results. As far as we know, it is the first time that the spectral graph theory has been applied to the identifying codes. We present a new method to obtain an upper bound on l for digraphs by considering the positive and negative entries of eigenvectors associated with a negative eigenvalue of the adjacency matrix of the digraph. Likewise, we analyse the possible scope of using the eigenvalue zero for the same purpose. The results obtained in the directed case can also be applied to graphs.

El principal tema de esta tesis doctoral es el estudio de los (1,=l)-códigos identificadores en digrafos. Los resultados presentados en este trabajo están divididos en tres partes. La primera se centra en las propiedades estructurales de los digrafos que admiten un (1,=l)-código identificador para l=2. En la segunda parte, nos enfocamos en el estudio de (1,=l)-códigos identificadores en digrafos línea. Finalmente, en la tercera parte abordamos el problema desde una perspectiva algebraica.Un (1,=l)-código identificador en un digrafo Des un subconjunto Cde vértices dominante en D tal que todos los subconjuntos de vértices de cardinalidad como máximo l tienen distinta in-vecindad cerrada dentro de C. En la primera parte de los resultados, probamos que si D es un digrafo que admite un (1,=l)-código identificador, entonces l es como máximo el mínimo in-grado del digrafo más uno. Una vez que esta cota superior quedaestablecida, damos algunas condiciones suficientes para que un digrafo D, conmínimo in-grado al menos 1, admita un (1,=l)-código indentificador paral igual al mínimo in-grado y para l igual al mínimo in-grado más uno. Como corolario, un resultado de Laihonen publicado en 2008 (que establece que un grafo k-regular con cintura al menos 7 admite un (1,=k)-código identificador) es extendido a cualquier grafo con mínimo grado al menos k=2y cintura al menos 7. Más aún, probamos que todo digrafo 1-in-regular tiene un (1,=2)-código identificador si y sólo si su cintura es al menos 5. Así mismo, caracterizamos todos los digrafos 2-in-regulares que admiten un (1,=l)-código identificador para l=2,3.En la segunda parte, probamos que todo digrafo línea de mínimo in-grado 1 no admite un (1,=l)-código identificador para l=3. También, damos una caracterización de los digrafos línea de un digrafo distinto de un ciclo dirigido de longitud 4 y mínimo in-grado 1, que admiten un (1,=2)-código identificador. El número de identificación de un digrafo D es el mínimo cardinal entre todos los códigos identificadores de D. Establecemos para digrafos sin dígonos (arcos simétricos) con ambos vértices de in-grado 1 queel número de identificación de su digrafo líneaestá acotado inferiormente por el número de arcos del digrafo originalmenos el número de vértices con ex-grado al menos uno. Por lo tanto, demostramos que el número de identificacióndel digrafo línea de un digrafo alcanza la igualdad cuando el digrafo originaltiene un 1-factor con mínimo in-grado 2 y no tienedígonos con ambos vértices de in-grado 2. Concluímos dando un algoritmo para construir códigos identificadores en digrafos orientados con mínimo in-grado al menos 2 y mínimo ex-grado al menos 1.En la tercera parte, damos algunas condiciones suficientes tanto algebraicas como combinatorias para que un digrafo 2-in-regular admita un (1,=l)-código identificador para l=2,3, combinando los resultados de la primera parte de esta tesis con algunos resultados algebraicos. Hasta donde sabemos, es la primera vez que la teoría espectral de grafos se ha aplicado al estudio de los códigos identificadores. Presentamos un nuevo método para obtener una cota superior de lpara digrafos, considerando las entradas positivas y negativas de los vectores propios asociados aun valor propio negativo de la matriz de adyacencia del digrafo. Del mismo modo, analizamos el posible alcance del uso del valor propio cero para el mismo propósito. Los resultados obtenidosen el caso dirigido también pueden aplicarse a grafos