Floer homology for 𝑏-symplectic manifolds

Abstract

(English) In this thesis we investigate various aspects of the dynamics of Hamiltonian vector fields in singular symplectic manifolds. We concentrate on two questions: first, we investigate a generalization of the Arnold conjecture in the setting of singular symplectic geometry. Second, we explore constructions for integrable systems in this context. In Chapter 2 we provide the background material required for this thesis. We start by delving into the theory of symplectic geometry. Then we present the Arnold conjecture, which asserts that there is a lower bound on the number of 1-periodic orbits for a non-degenerate Hamiltonian system, and that this lower bound can be formulated strictly in topological terms. We also present a tool used in the investigation of this conjecture: Floer theory. We explain some notions of Poisson geometry before we explore a notion fundamental to this thesis: that of a b-m-symplectic manifold. These are manifolds with a structure that is symplectic almost everywhere but “blows up” at a hypersurface, which we call the singular hypersurface. We lay out some techniques used in the study of b-m-symplectic manifolds, with an emphasis on a procedure called "desingularization". Finally, we give a summary of the theory of integrable systems and the study of their singular points. In Chapter 3 we investigate the dynamical behaviour of certain vector fields in b-m-symplectic geometry, coming from b-m-Hamiltonians. We focus on the study of their dynamics in a neighbourhood of the singular hypersurface, and find a family of b-m-Hamiltonians where a version of the Arnold conjecture can be formulated. Then, we explore new aspects of the desingularization procedure in relation to the b-m-Hamiltonian dynamics, and provide some techniques that allow us to relate these dynamics to those of classical symplectic geometry. We conclude with two results yielding partial versions of the Arnold conjecture for b-m-Hamiltonian vector fields. In Chapter 4 we show the existence of a Floer homology for b-m-symplectic manifolds. This we manage through an investigation of the Floer equation for the family of b-m-Hamiltonians presented in Chapter 3. In Chapter 5 we introduce the notion of the classes of b-integrable and b-semitoric systems. We study the features of b-semitoric systems using some interesting examples and the investigation of their singular points.

(Català) En aquesta tesi investiguem diversos aspectes dinàmics sobre camps vectorials Hamiltonians en varietats simplèctiques singulars. Ens centrem en dues facetes: primer investiguem una generalització de la conjectura d’Arnold en el context de la geometria simplèctica singular. En segon lloc, examinem construccions de sistemes integrables en aquest context.Al Capítol 2 oferim els coneixements preliminars necessaris per a aquesta tesi. Comencem fixant-nos en la teoria de la geometria simplèctica. Presentem la conjectura d’Arnold, que proposa l’existència d’una fita inferior en el nombre d’òrbites 1-periòdiques en sistemes Hamiltonians no degenerats, la qual es pot formular en termes estrictament topològics. També presentem una eina emprada per investigar aquesta conjectura: la teoria de Floer. Tot seguit exposem algunes nocions de la geometria de Poisson, abans d’explorar una noció fonamental d’aquesta tesi: la de varietat b-m-simplèctica. Les varietats b-m-simplèctiques tenen una estructura que és simplèctica gairebé arreu però que “explota” en una hipersuperfície, anomenada singular. També exposem algunes tècniques emprades en l’estudi de les varietats b-m-simplèctiques, posant èmfasi en un procés anomenat "desingularització". Concloem el capítol oferint un resum de la teoria de sistemes integrables i de l’estudi dels seus punts singulars.Al Capítol 3 investiguem el comportament dinàmic d’uns camps vectorials particulars en geometria b-m-simplèctica, induïts per b-m-Hamiltonians. Ens centrem en estudiar la seva dinàmica en un entorn de la seva hipersuperfície singular, i trobem una família de b-m-Hamiltonians per a la qual es pot formular una versió de la conjectura d’Arnold. Després explorem alguns aspectes del procés de desingularització relacionats amb la dinàmica dels camps b-m-Hamiltonians, i descrivim algunes tècniques que ens permeten connectar aquesta dinàmica amb la dinàmica que trobem en la geometria simplèctica clàssica. Finalment, demostrem dues versions parcials de la conjectura d’Arnold per a camps b-m-Hamiltonians. Al Capítol 4 demostrem l’existència d’una homologia de Floer per a varietats b-m-simplèctiques. Per aconseguir-ho estudiem l’equació de Floer en el context dels b-m-Hamiltonians presentats al Capítol 3. Al Capítol 5 introduïm les nocions de classe b-integrable i de sistema b-semitòric. Estudiem les característiques dels sistemes b-semitòrics a través d’alguns exemples i les propietats dels seus punts singulars.