Aerodynamic shape optimization under uncertainties using embedded methods and adjoint techniques

Abstract

(English) This thesis develops a framework to perform shape optimization under uncertainties for a body under the action of aerodynamic forces. The solution of the flow is performed with finite elements using the full potential equation with an embedded approach, where the object of study is defined implicitly with a level set function. The optimization problem is solved by combining different software packages to perform the solution of the flow, advance in the optimization loop and perform uncertainty quantification.

The first contribution of the thesis is the development of a full embedded approach for the solution of the full potential equation. Due to the inviscid hypothesis of potential solvers, these require the definition of a gap in the computational mesh in order to generate lift, known as the wake. Based on previous works where the wake is defined implicitly with an embedded approach, this work also considers the geometry as an embedded body. Mesh refinement and numerical terms are employed to improve the definition of the geometry in the mesh and ensure the definition of the Kutta condition. The solver is validated for two and three dimensions for subsonic and transonic flows with different reference data.

Another contribution of the thesis is the development of the adjoint analysis for the subsonic full potential equation with embedded geometries in two dimensions. Each coordinate of the object of study is considered a design parameter in the adjoint analysis, where the effect of the level set function is considered. The sensitivities of the objective function with respect to the design parameters are validated by comparing them to the sensitivities obtained by using a finite differences approach. A shape optimization problem where the lift coefficient is maximized with geometrical constraints is solved as an example of application of the adjoint sensitivities.

The embedded shape optimization problem is extended to consider uncertainties in the inlet condition. The optimization problem is reformulated by choosing a risk measure, the Conditional Value-at-risk, which is minimized. The adjoint sensitivities are adapted for the stochastic case, considering the selected risk measure. The estimation of the risk measure is performed thanks to an external uncertainty quantification library, by applying a novel approach which uses Monte Carlo methods to estimate the Conditional Value-at-risk. The stochastic case is solved in a distributed environment, where each optimization step deploys a Monte Carlo hierarchy to estimate the objective function and its gradients.

(Català) Aquesta tesi es centra en el desenvolupament de mètodes numèrics per a la solució de problemes d'optimització de forma sota incerteses, per a cossos sota l'acció de forces aerodinàmiques. La solució del flux es realitza amb mètodes d'elements finits utilitzant les hipòtesis de flux potencial amb geometries embegudes, on la geometria es defineix de manera implícita. El problema d'optimització es resol combinant diferents eines de paquets de programari per a obtenir la solució del flux, avançar en el bucle d'optimització i quantificar les incerteses.

La primera contribució de la tesi és el desenvolupament d'un enfocament totalment embegut per a la solució del flux potencial. Atès que el flux potencial assumeix la hipòtesi que el flux no és viscós, la solució d'aquesta mena de problemes requereix la definició d'una discontinuïtat en el domini per a poder modelar la sustentació que genera li geometria, que es correspon amb el deixant generat pel cos. Sobre la base de treballs previs on la discontinuïtat es defineix en el domini de manera implícita, aquest treball també considera la geometria com un cos embegut. Per a assegurar una bona representació de la geometria, la malla es refina amb mètodes adaptatius. La condició de Kutta es força amb termes numèrics. El mètode s'ha validat per a dues i tres dimensions per a fluxos tant subsònics com transsònics utilitzant diferents resultats de referència.

Una altra de les contribucions de la tesi és el desenvolupament del problema adjunt per al flux subsònic potencial amb geometries embegudes en dues dimensions, amb la condició d'obtenir les sensitivitats d'una funció objectiu que depèn de la solució del flux potencial. Cada coordenada que defineix el cos d'estudi es considera un paràmetre de disseny en el problema adjunt. Les sensitivitats respecte als paràmetres de disseny es validen amb les sensitivitats obtingudes per diferències finites. Amb aquestes sensitivitats, es resol un problema d'optimització de forma, on el coeficient de sustentació es maximitza amb una sèrie de restriccions geomètriques.

El problema d'optimització amb geometries embegudes s'estén per a la consideració d'incerteses en les condicions d'entrada del problema. El problema es reformula després de triar una mesura de risc que es desitja minimitzar. Les sensitivitats del problema adjunt s'adapten per al problema estocàstic, on es considera la contribució de la mesura de risc seleccionada, el Conditional Value-at-risk. L'estimació de la mesura de risc es realitza gràcies a una llibreria externa per a la quantificació d'incerteses, utilitzant un nous mètode de Montecarlo per a estimar el Conditional Value-at-risk. El cas estocàstic es resol en un supercomputador, on per a cada pas del problema d'optimització es desplega tota una jerarquia de mostres de Montecarlo per a estimar la funció objectiu i els seus gradients.

(Español) Esta tesis se centra en el desarrollo de métodos numéricos para la solución de problemas de optimización de forma bajo incertidumbres, para cuerpos bajo la acción de fuerzas aerodinámicas. La solución del flujo se realiza con métodos de elementos finitos utilizando las hipótesis de flujo potencial con geometrías embebidas, donde la geometría se define de manera implícita. El problema de optimización se resuelve combinando distintas herramientas de paquetes de software para obtener la solución del flujo, avanzar en el bucle de optimización y cuantificar las incertidumbres.

La primera contribución de la tesis es el desarrollo de un enfoque totalmente embebido para la solución del flujo potencial. Dado que el flujo potencial asume la hipótesis de que el flujo no es viscoso, la solución de este tipo de problemas requiere la definición de una discontinuidad en el dominio para poder modelar la sustentación que genera le geometría, que se corresponde con la estela generada por el cuerpo. En base a trabajos previos donde la discontinuidad se define en el dominio de manera implícita, este trabajo también considera la geometría como un cuerpo embebido. Para asegurar una buena representación de la geometría, la malla se refina con métodos adaptativos. La condición de Kutta se fuerza con términos numéricos. El método se ha validado para dos y tres dimensiones para flujos tanto subsónicos como transónicos utilizando distintos resultados de referencia.

Otra de las contribuciones de la tesis es el desarrollo del problema adjunto para el flujo subsónico potencial con geometrías embebidas en dos dimensiones, con tal de obtener las sensitividades de una función objetivo que depende de la solución del flujo potencial. Cada coordenada que define el cuerpo de estudio se considera un parámetro de diseño en el problema adjunto. Las sensitividades respecto a los parámetros de diseño se validan con las sensitividades obtenidas por diferencias finitas. Con estas sensitividades, se resuelve un problema de optimización de forma, donde el coeficiente de sustentación se maximiza con una serie de restricciones geométricas.

El problema de optimización con geometrías embebidas se extiende para la consideración de incertidumbres en las condiciones de entrada del problema. El problema se reformula tras elegir una medida de riesgo que se desea minimizar. Las sensitividades del problema adjunto se adaptan para el problema estocástico, donde se considera la contribución de la medida de riesgo seleccionada, el Conditional Value-at-risk. La estimación de la medida de riesgo se realiza gracias a una librería externa para la cuantificación de incertidumbres, utilizando un novedosos método de Monte Carlo para estimar el Conditional Value-at-risk. El caso estocástico se resuelve en un superordenador, donde para cada paso del problema de optimización se despliega toda una jerarquía de muestras de Monte Carlo para estimar la función objetivo y sus gradientes.