Quantum analogs of classical codes

Abstract

(English) The main focus of this thesis are stabilizer codes, a type of error-correcting code used to correct quantum information that has been corrupted by noise. We introduce several new general constructions of stabilizer codes. In particular we use one of the constructions to construct quantum cyclic redundancy check codes, an error-correcting code which is used in classical information to correct burst errors. We show how to use a quantum version of such codes to correct burst errors on systems of quantum bits. We include a geometric description of stabilizer codes, extending previous constructions which work only for the qubit case to quantum systems in which the quantum particles have local dimension p, where p is any prime number. Finally, we reduce the problem of ascertaining when a generalised Reed-Solomon code is contained in its Hermitian dual and therefore can be used to construct a stabilizer code. This reduction allows us to determine the shortest and longest length of generalised Reed-Solomon codes which are contained in their Hermitian dual, verifying a conjecture of Grassl and Rotteler.

(Català) El tema principal d'aquesta tesi són els codis estabilitzadors, un tipus de codi de correcció d'errors utilitzat per corregir la informació quàntica que ha estat corrompuda pel soroll. Introduïm diverses noves construccions generals de codis estabilitzadors. En particular, usem una d'aquestes construccions per definir codis CRC, un codi de correcció d'errors que s'usa en informació clàssica per corregir ràfegues d'errors. Mostrem com usar una versió quàntica d'aquests codis per corregir errors en ràfegues en sistemes de bits quàntics. Incloem una descripció geomètrica dels codis estabilitzadors, ampliant construccions prèvies que només funcionen per al cas de qubits a sistemes quàntics en què les partícules tenen dimensió local p, on p és qualsevol nombre primer. Finalment, reduïm el problema de determinar quan un codi de Reed-Solomon generalitzat està contingut en el seu dual hermític i, per tant, pot ser utilitzat per construir un codi estabilitzador. Aquesta reducció ens permet determinar la longitud més curta i més llarga dels codis de Reed-Solomon generalitzats que estan continguts en el seu dual hermític, verificant una conjectura de Grassl i Rötteler.

(Español) El enfoque principal de esta tesis son los códigos estabilizadores, un tipo de código de corrección de errores utilizado para corregir la información cuántica que ha sido corrompida por el ruido. Introducimos varias nuevas construcciones generales de códigos estabilizadores. En particular, utilizamos una de estas construcciones para definir códigos de CRC cuánticos, un código de corrección de errores que se utiliza en información clásica para corregir errores en ráfaga. Mostramos cómo utilizar una versión cuántica de dichos códigos para corregir errores en ráfaga en sistemas de bits cuánticos. Incluimos una descripción geométrica de los códigos estabilizadores, ampliando construcciones previas que solo funcionan para el caso de qubits a sistemas cuánticos en los que las partículas cuánticas tienen dimensión local p, donde p es cualquier número primo. Finalmente, reducimos el problema de determinar cuándo un código de Reed-Solomon generalizado está contenido en su dual hermitiano y, por lo tanto, puede ser utilizado para construir un código estabilizador. Esta reducción nos permite determinar la longitud más corta y más larga de los códigos de Reed-Solomon generalizados que están contenidos en su dual hermitiano, verificando una conjetura de Grassl y Rötteler.